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 Cube résistif

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Savignyexpress
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MessageSujet: Cube résistif   Mar 2 Oct - 6:15

Bonjour à tous,

Imaginons un cube dont chaque arête est une résistance R (toutes de même valeur = 1 Kilo-Ohm).


Image tirée de: http://www.chegg.com.

Quelle est la résistance équivalente entre:

  • les sommets jaune et vert ?
  • les sommets jaune et rouge ?
  • les sommets jaune et bleu ?


Pensez à exploiter les symétries du cube.

Amusez-vous bien, bonne journée et meilleures salutations.


Dernière édition par Savignyexpress le Mer 3 Oct - 6:03, édité 2 fois
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Asl
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MessageSujet: Re: Cube résistif   Mar 2 Oct - 18:20

Bonjour Savignyexpress,

Excellent ! Laughing banane

Je posais aussi ce style de problème mais je l'avoue, beaucoup plus simple quand même (quoique ? le raisonnement est toujours le même).

Alors, si tu es d'accord, demander une résistance équivalente peut revenir à attendre un chiffre.
Or, s'il n'y a aucune valeur de résistances définies au préalable, on ne peut avoir comme réponse qu'une suite interminable de formule.
Mais pourquoi pas ? Mais pas terriblement excitant quand même.

Que penserais-tu d'affecter une valeur de 1ko à chaque résitance ?

Enfin... ce que tu décides...

@++

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MessageSujet: Re: Cube résistif   Mer 3 Oct - 6:03

Bonjour Asl,

Je viens d'éditer mon message en fixant R = 1 KOhm.

Bonne journée, A+

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Meilleures salutations de Suisse à Invité.
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Quentin
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MessageSujet: Re: Cube résistif   Mer 3 Oct - 15:05

Super casse-tête ! geek
Je faits le dernier quizz d'Asl, et je tente ce petits exo tord-cerveau !
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Asl
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MessageSujet: Re: Cube résistif   Jeu 4 Oct - 4:49

Bonjour,

Savignyexpress,
Si tu le permets j'ai annoté les résistances :


Peut-être un peu plus facile pour ceux qui voudrait tracer et donc repérer les différents "réseaux" de résistances série/parallèle.
Et surtout pour pouvoir expliquer le raisonnement qui a conduit à leur résultat.

Sommets jaune et bleu c'est vrai que c'est un classique, le plus simple d'ailleurs (bof ! sos ), vous devriez peut-être commencer par cette 3ème question histoire de vous "échauffer" banane

Quand aux deux autres, les mailles et les noeuds sont très loin derrière moi... Je laisse donc la place aux jeunes cool

@++

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Savignyexpress
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MessageSujet: Re: Cube résistif   Jeu 4 Oct - 6:51

Bonjour Asl,

Ok pour l'annotation.

Tu as raison, la résistance équivalente jaune-bleu (grande diagonale) est plus simple à déterminer que les autres, car c'est celle pour laquelle on réduit le plus les inconnues. On peut tout exprimer à partir du courant qui entre / sort du cube et résoudre le problème de tête. Ce courant se divise en 3, puis en 6, puis se regroupe en 3 et sort du cube...

Pour les autres cas, on trouve sur le Web des solutions sans mailles ni noeuds, qui exploitent les fait que certains noeuds sont aux mêmes potentiels et peuvent donc virtuellement être reliés pour le raisonnement. Les problèmes deviennent ainsi des combinaisons série - parallèle de résistances.

Cela dit, les mailles et les noeuds sont utiles dans la pratique, mais je pense qu'on les applique presque inconsciemment sans poser toutes les équations. Par exemple, le calcul de la résistance d'émetteur pour polariser un transistor.

Bonne journée, meilleures salutations.
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Asl
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MessageSujet: Re: Cube résistif   Mar 16 Oct - 10:10

Bonjour,

Bon, on dirait que c'est pas l'affolement... siffle

Savignyexpress, as-tu des membres qui t'ont déjà répondu par MP ?

Si oui, peut-être poster leurs réponses... journal

Si non, peut-être amorcer des pistes pour les solutions...

Enfin, c'est toi qui es le boss, tu décides.

@++

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burgus
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MessageSujet: Re: Cube résistif   Mar 16 Oct - 14:36

Je viens seulement de le voir affraid
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burgus
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MessageSujet: Re: Cube résistif   Mer 17 Oct - 18:32

Certitude, entre le jaune et le vert, la résistance sera en dessous d' un kilo-ohm.
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MessageSujet: Re: Cube résistif   Jeu 18 Oct - 11:13

Bonjour,

Pour relancer ce fil, je me lance. Comme j'ai le choix, je vais prendre le cas simple tongue


r est la valeur de chaque résistance et R la résistance équivalente

U(Jaune, Bleu) = U(Jaune, Vert) + U(Vert, Rouge) + U(Rouge, Bleu)

RI = rI/3 + rI/6 + rI/3

R = 5r/6
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Savignyexpress
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MessageSujet: Re: Cube résistif   Ven 19 Oct - 7:52

Phil a écrit:

r est la valeur de chaque résistance et R la résistance équivalente

U(Jaune, Bleu) = U(Jaune, Vert) + U(Vert, Rouge) + U(Rouge, Bleu)

RI = rI/3 + rI/6 + rI/3

R = 5r/6
Bravo Phil pour cette réponse !

Je pense plus profitable que les réponses soient postées ici plutôt que transmises par MP.

Meilleures salutations.
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** Phil **
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MessageSujet: Re: Cube résistif   Sam 20 Oct - 11:13

Re bonjour à tous,

Sur ce post, je vais essayer le cas 2, mais je n'ai pas trouvé de solution intuitive comme pour le cas précédent, pour simplifier le problème, il va falloir exploiter les symétries du cube. Quelques rappels alors s'imposent !

Plan de symétrie

A et B étant les points d'alimentation, le plan de symétrie doit contenir A et B afin que ceux-ci soient invariants (S(A)=A et S(B)=B). Ce plan n'est pas unique, le choisir habilement.

Dans notre cas, je choisi le plan perpendiculaire à la face du cube contenant A et B.



Pour deux nœuds symétriques par rapport au plan de symétrie, leurs
grandeurs électriques sont équivalentes en particulier les potentiels.
Par exemple puisque S(H)=G, H et G sont au même potentiel ainsi U(E,H)=U(E,G)=ri et on en déduit sans peine que I(E,H)=I(E,G).

Plan d'antisymétrie


Le plan d'antisymétrie doit transformer A en B et être perpendiculaire au plan de symétrie (S(A)=B et S(B)=A). Il est unique quand il existe.
Tous les noeuds qui appartiennent au plan d'antisymétrie sont au même potentiel



Les potentiels de C, D, H et G sont donc égaux.
En particulier, H et D sont au même potentiel leur ddp est donc nulle, de même pour G et C
Puisque U(H,D)=U(G,C)=0, nous pouvons simplifier notre cube en supprimant les arêtes HD et GC

Résolution


Notre cube est réduit à ceci



En utilisant les résistances équivalentes
En série, R[r1+r2]= r1+r2 lorsque r1=r2=r -> R=2r
En parallèle, R[r1//r2] = r1.r2/(r1+r2) lorsque r1=r2=r -> R=r²/2r= r/2
On réduit encore notre cube



Et finalement

R= 3r.r/(3r+r)=3r²/4r=3r/4

Voilà, il n'y a quasiment pas de calcul à faire, qui prend la plume pour le dernier cas !?
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MessageSujet: Re: Cube résistif   Lun 22 Oct - 11:05

Bravo Phil pour cette bonne réponse au 2ème cas et merci pour tes dessins très détaillés !

Pour le dernier cas, résistance équivalente entre A et E (reprenant le nommage de ton dessin), les potentiels suivants sont égaux:

  • C, D
  • G, H


On a donc le schéma suivant, chaque paire de résistances en parallèle vaut R/2:


Puis:

  • Résistance CD, B, F, GH = 2R
  • Résistance CD, GH: 2R en parallèle avec R/2 = 2/5 * R
  • Résistance A, CD, GH, E = R + 2/5 * R = 7/5 * R
  • Résistance AE: R en parallèle avec 7/5 * R = 7/12 * R
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MessageSujet: Re: Cube résistif   Lun 22 Oct - 13:22

Et oui, on peut utiliser le même plan de symétrie puisque E est aussi invariant. Par contre le plan d'antisymétrie perpendiculaire au plan de symétrie passe par le milieu de AE et ne contient aucun nœud, donc pas de simplification possible du cube dans ce cas.

Merci pour cet exo qui m'a fait rajeunir de 40 ans !

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Plutôt que d'essayer de réinventer la roue, apprenons à nous en servir.


Désolé, on ne savait pas que c'était impossible, alors on l'a fait.
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